Algebraiska uttryck är kända som kombinationen av bokstäver, tecken och siffror i matematiska operationer. Vanligtvis representerar bokstäverna okända mängder och kallas variabler eller okända. Algebraiska uttryck tillåter översättningar till matematiska språkuttryck av vanligt språk. Algebraiska uttryck härrör från skyldigheten att översätta okända värden till siffror som representeras av bokstäver. Den gren av matematik som är ansvarig för studien av dessa uttryck där siffror och bokstäver förekommer, liksom tecken på matematiska operationer, är Algebra.
Vad är algebraiska uttryck
Innehållsförteckning
Som nämnts tidigare är dessa operationer inget annat än en kombination av bokstäver, siffror och tecken som senare används i olika matematiska operationer. I algebraiska uttryck har bokstäver siffrors beteende och när de tar den kursen används mellan en och två bokstäver.
Oavsett vilket uttryck du har är det första att göra att förenkla, detta uppnås med hjälp av egenskaperna för operation (erna), som motsvarar de numeriska egenskaperna. För att hitta det numeriska värdet av en algebraisk operation måste du ersätta ett visst nummer för bokstaven.
Många övningar kan göras på dessa uttryck och de kommer att göras i detta avsnitt för att förbättra förståelsen för ämnet i fråga.
Exempel på algebraiska uttryck:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebraiskt språk
Det algebraiska språket är ett som använder symboler och bokstäver för att representera siffror. Dess huvudsakliga funktion är att etablera och strukturera ett språk som hjälper till att generalisera de olika operationerna som sker inom aritmetik där endast siffror och deras elementära aritmetiska operationer (+ -x%) förekommer.
Det algebraiska språket syftar till att skapa och designa ett språk som hjälper till att generalisera de olika operationerna som sker inom aritmetik, där endast tal och deras grundläggande matematiska operationer används: addition (+), subtraktion (-), multiplikation (x) och division (/).
Det algebraiska språket kännetecknas av dess precision, eftersom det är mycket mer konkret än det numeriska språket. Genom det kan meningar uttrycks kort. Exempel: uppsättningen multiplar av 3 är (3, 6, 9, 12…) uttrycks 3n, där n = (1, 2, 3, 4…).
Det låter dig uttrycka okända nummer och utföra matematiska operationer med dem. Exempel, summan av två tal uttrycks så här: a + b. Stöder uttrycket av allmänna numeriska egenskaper och förhållanden.
Exempel: kommutativ egenskap uttrycks så här: axb = bx a. När man skriver med detta språk kan okända mängder manipuleras med enkla symboler för att skriva, vilket möjliggör förenkling av satser, formulering av ekvationer och ojämlikheter och studier av hur man löser dem.
Algebraiska tecken och symboler
I algebra används både symboler och tecken i uppsättningsteori och dessa utgör eller representerar ekvationer, serier, matriser etc. Bokstäverna uttrycks eller namnges som variabler, eftersom samma bokstav används i andra problem och dess värde hittar olika variabler. Bland några av klassificeringen algebraiska uttryck är följande:
Algebraiska fraktioner
En algebraisk fraktion är känd som en som representeras av kvoten av två polynomier som visar ett beteende som liknar numeriska fraktioner. I matematik kan du arbeta med dessa fraktioner genom att göra multiplikation och division. Därför måste det uttryckas att den algebraiska fraktionen representeras av kvoten av två algebraiska uttryck där täljaren är utdelningen och nämnaren delaren.
Bland egenskaperna hos algebraiska fraktioner kan det markeras att om nämnaren delas eller multipliceras med samma mängd som inte är noll, kommer fraktionen inte att ändras. Förenklingen av en algebraisk fraktion består i att omvandla den till en fraktion som inte längre kan reduceras, vilket är nödvändigt för att faktorera polynom som utgör täljaren och nämnaren.
Klassificering algebraiska uttryck återspeglas i följande typer: ekvivalent, enkel, korrekt, felaktig, sammansatt av täljare eller nollnämnare. Då kommer vi att se var och en av dem.
Motsvarande
Denna aspekt möts när korsprodukten är densamma, det vill säga när resultatet av fraktionerna är detsamma. Till exempel av dessa två algebraiska bråk: 2/5 och 4/10 kommer att vara ekvivalenta om 2 * 10 = 5 * 4.
Enkel
De är de där täljaren och nämnaren representerar heltal rationella uttryck.
Egen
De är enkla fraktioner där täljaren är mindre än nämnaren.
Felaktig
De är enkla bråk där täljaren är lika med eller större än nämnaren.
Sammansatt
De bildas av en eller flera fraktioner som kan placeras i täljaren, nämnaren eller båda.
Null räknare eller nämnare
Uppträder när värdet är 0. Om du har en bråkdel 0/0 kommer den att vara obestämd. När du använder algebraiska bråk för att utföra matematiska operationer måste vissa egenskaper för operationer med numeriska bråk tas med i beräkningen, till exempel måste man starta den minst gemensamma multipeln när nämnarna har olika siffror.
I både delning och multiplikation utförs och utförs operationer på samma sätt som med numeriska fraktioner, eftersom dessa måste förenklas när det är möjligt.
Monomialer
Monomialer är allmänt använda algebraiska uttryck som har en konstant som kallas koefficienten och en bokstavlig del, som representeras av bokstäver och kan höjas till olika krafter. Till exempel har monomialen 2x² 2 som koefficient och x² är den bokstavliga delen.
Vid flera tillfällen kan den bokstavliga delen bestå av en multiplikation av okända, till exempel i fallet med 2xy. Var och en av dessa bokstäver kallas obestämd eller variabel. En monomial är en typ av polynom med en enda term, dessutom finns det möjligheten att vara framför liknande monomialer.
Element av monomier
Med tanke på monomial 5x ^ 3; Följande delar utmärks:
- Koefficient: 5
- Bokstavlig del: x ^ 3
Produkten av monomier är koefficienten, som refererar till det antal som visas genom att multiplicera den bokstavliga delen. Den placeras vanligtvis i början. Om produkten av monomier har ett värde på 1 skrivs den inte och den kan aldrig vara noll, eftersom hela uttrycket skulle ha ett värde på noll. Om det finns en sak att veta om monomiala övningar är det att:
- Om en monom saknar en koefficient är den lika med en.
- Om någon term inte har någon exponent är den lika med en.
- Om någon bokstavlig del inte är närvarande, men krävs, betraktas den med en exponent på noll.
- Om inget av detta överensstämmer, står du inte inför monomialövningar, du kan till och med säga att samma regel finns med övningarna mellan polynomier och monomialer.
Addition och subtraktion av monomier
För att kunna utföra summor mellan två linjära monomier är det nödvändigt att behålla den linjära delen och lägga till koefficienterna. I subtraktionerna av två linjära monomialer måste den linjära delen hållas, som i summan, för att kunna subtrahera koefficienterna, sedan multipliceras koefficienterna och exponenterna adderas med samma baser.
Multiplikation av monomier
Det är en monomial vars koefficient är produkten eller resultatet av koefficienterna, som har en bokstavlig del som har erhållits genom multiplicering av krafter som har exakt samma bas.
Uppdelning av monomier
Det är inget annat än en annan monom vars koefficient är kvoten av de erhållna koefficienterna som dessutom har en bokstavlig del erhållen från indelningarna mellan krafterna som har exakt samma bas.
Polynom
När vi pratar om polynom hänvisar vi till en algebraisk operation av addition, subtraktion och ordnad multiplikation gjord av variabler, konstanter och exponenter. I algebra kan ett polynom ha mer än en variabel (x, y, z), konstanter (heltal eller fraktioner) och exponenter (som bara kan vara positiva heltal).
Polynom består av ändliga termer, varje term är ett uttryck som innehåller ett eller flera av de tre elementen som de är gjorda med: variabler, konstanter eller exponenter. Till exempel: 9, 9x, 9xy är alla termer. Ett annat sätt att identifiera termerna är att de skiljs åt genom addition och subtraktion.
För att lösa, förenkla, lägga till eller subtrahera polynomer måste du gå med i termerna med samma variabler som till exempel termerna med x, termerna med “y” och termerna som inte har variabler. Det är också viktigt att titta på tecknet före termen som avgör om man ska lägga till, subtrahera eller multiplicera. Termer med samma variabler grupperas, läggs till eller subtraheras.
Typer av polynom
Antalet termer som ett polynom har kommer att indikera vilken typ av polynom det är, till exempel om det finns en enstaka polynom, då står den inför en monom. Ett tydligt exempel på detta är en av polynomövningarna (8xy). Det finns också tvåterm polynom, som kallas en binomial och identifieras av följande exempel: 8xy - 2y.
Slutligen polynom av tre termer, som kallas trinomialer och identifieras av en av polynomövningarna 8xy - 2y + 4. Trinomials är en typ av algebraiskt uttryck som bildas av summan eller skillnaden mellan tre termer eller monomialer (liknande monomialer).
Det är också viktigt att prata om graden av polynom, för om det är en enda variabel är den den största exponenten. Graden av ett polynom med mer än en variabel bestäms av termen med den största exponenten.
Addition och subtraktion av polynomer
Summan av polynom innefattar att kombinera termer. Liknande termer avser monomier som har samma variabel eller variabler som höjs till samma effekt.
Det finns olika sätt att utföra polynomberäkningar, inklusive summan av polynom, som kan göras på två olika sätt: horisontellt och vertikalt.
- Summan av polynom horisontellt: det används för att utföra operationer horisontellt, redundans är värt det, men först skrivs ett polynom och följs sedan på samma rad. Efter detta skrivs det andra polynom som ska läggas till eller subtraheras och slutligen grupperas liknande termer.
- Vertikal summa av polynom: det uppnås genom att skriva det första polynomet på ett ordnat sätt. Om detta är ofullständigt är det viktigt att lämna luckorna i de saknade villkoren fria. Därefter skrivs nästa polynom precis under den föregående, på detta sätt kommer termen som liknar den ovan att vara nedan. Slutligen läggs varje kolumn till.
Det är viktigt att lägga till att för att lägga till två polynomer måste koefficienterna för termerna av samma grad läggas till. Resultatet av att lägga till två termer av samma grad är en annan term av samma grad. Om någon term saknas i någon av graderna kan den slutföras med 0. Och de ordnas i allmänhet från högsta till lägsta grad.
Som nämnts ovan är det bara nödvändigt att lägga till villkoren av samma grad för att utföra summan av två polynomer. Egenskaperna för denna operation består av:
- Associerande egenskaper: i vilka summan av två polynom löses genom att lägga till koefficienterna som följer med x: erna som stiger till samma effekt.
- Kommutativ egendom: som ändrar ordningen på tillägget och resultatet kan inte dras. De neutrala elementen, som alla har sina koefficienter lika med 0. När ett polynom läggs till det neutrala elementet är resultatet lika med det första.
- Motsatt egenskap: bildad av polynom som har alla de inversa koefficienterna för de aggregerade polynomkoefficienterna. alltså, när man utför tilläggsoperationen är resultatet nollpolynomet.
När det gäller subtraktion av polynomer, (operationer med polynomer), är det absolut nödvändigt att gruppera monomer enligt de egenskaper de har och börja med förenkling av de som var likartade. Operationerna med polynom utförs genom att lägga till motsatsen till subtrahend till minuend.
Ett annat effektivt sätt att gå vidare med att subtrahera polynom är att skriva motsatsen till varje polynom under varandra. Således finns liknande monomier kvar i kolumner och vi fortsätter att lägga till dem. Oavsett vilken teknik som utförs, i slutändan blir resultatet alltid detsamma, naturligtvis, om det görs korrekt.
Multiplikation av polynom
Multiplikation av monomier eller övningar mellan polynomier och monomialer, det är en operation som utförs för att hitta den resulterande produkten, mellan en monomial (algebraiskt uttryck baserat på multiplicering av ett tal och en bokstav höjd till en positiv heltalsexponent) och en annan uttryck, om detta är en oberoende term, en annan monomial eller till och med en polynom (slutlig summa av monomialer och oberoende termer).
Men som med nästan alla matematiska operationer har multiplikationen av polynom också en serie steg som måste följas när man löser den föreslagna operationen, som kan sammanfattas i följande procedurer:
Det första du ska göra är att multiplicera monomiet med dess uttryck (multiplicera tecknen på vart och ett av dess termer). Efter detta multipliceras koefficientvärdena och när värdet hittas i den operationen läggs bokstäverna av monomierna som finns i termerna till. Sedan noteras varje resultat i alfabetisk ordning och slutligen läggs varje exponent till, som är belägen i basbokstäverna.
Polynomavdelningen
Även känd som Ruffini-metoden. Det gör att vi kan dela ett polynom med ett binomium och också låta oss hitta rötterna till ett polynom för att faktorisera det i binomialer. Med andra ord gör denna teknik det möjligt att dela upp eller sönderdela ett algebraiskt polynom av grad n, i ett algebraiskt binomium och sedan till ett annat algebraiskt polynom av grad n-1. Och för att detta ska vara möjligt är det nödvändigt att känna till eller känna åtminstone en av rötterna till det unika polynomet, för att separationen ska vara exakt.
Det är en effektiv teknik att dela ett polynom med ett binomium av formen x - r. Ruffinis regel är ett speciellt fall av syntetisk uppdelning när delaren är en linjär faktor. Ruffinis metod beskrevs av den italienska matematikern, professorn och läkaren Paolo Ruffini 1804, som förutom att uppfinna den berömda metoden som kallas Ruffinis regel, som hjälper till att hitta koefficienterna för resultatet av fragmenteringen av ett polynom av binom; Han upptäckte och formulerade denna teknik på en ungefärlig beräkning av rötterna för ekvationer.
Som alltid, när det gäller en algebraisk operation, involverar Ruffinis regel en serie steg som måste utföras för att nå det önskade resultatet, i det här fallet: hitta kvoten och resten som är inneboende i uppdelningen av alla typer av polynom och en binomial av form x + r.
Först och främst måste uttrycken granskas för att verifiera eller avgöra om de verkligen behandlas som polynomer och binomialer som svarar på den förväntade formen med Ruffini Rule-metoden när du startar operationen.
När dessa steg har verifierats ordnas polynom (i fallande ordning). När detta steg är klart beaktas endast koefficienterna för polynomtermerna (upp till den oberoende) och placerar dem i en rad från vänster till höger. Vissa mellanslag är kvar för de termer som behövs (endast vid ett ofullständigt polynom). Galjetecknet placeras till vänster om raden, som består av koefficienter för utdelningspolynomet.
I den vänstra delen av galleriet fortsätter vi med att placera den oberoende termen för binomialet, som nu är en delare och dess tecken är invers. Det oberoende multipliceras med polynomets första koefficient och registreras därmed i en andra rad under den första. Sedan subtraheras den andra koefficienten och produkten av den monomiala oberoende termen av den första koefficienten.
Binomialens oberoende term multipliceras med resultatet av föregående subtraktion. Men dessutom placeras den i andra raden, vilket motsvarar den fjärde koefficienten. Åtgärden upprepas tills alla villkor har uppnåtts. Den tredje raden som har erhållits baserat på dessa multiplikationer tas som en kvot, med undantag för den sista termen, som kommer att betraktas som resten av uppdelningen.
Resultatet uttrycks, åtföljer varje variabelkoefficient och graden som motsvarar den, och börjar uttrycka dem med en lägre grad än den de ursprungligen hade.
- Resten sats: det är en praktisk metod som används för att dela ett polynom P (x) med en annan vars form är xa; där endast värdet på resten erhålls. För att tillämpa denna regel följs följande steg. Den polynomiska utdelningen skrivs utan att komplettera eller beställa, sedan ersätts variabeln x för utdelningen med det motsatta värdet av delarens oberoende term. Och slutligen löses operationerna i kombination.
Återstående teorem är en metod genom vilken vi kan få resten av en algebraisk uppdelning men där det inte är nödvändigt att göra någon uppdelning.
- Ruffinis metod: Ruffinis metod eller regel är en metod som gör att vi kan dela ett polynom med ett binomium och också låter oss lokalisera rötterna till ett polynom för att faktor i binomialer. Med andra ord gör denna teknik det möjligt att dela upp eller sönderdela ett algebraiskt polynom av grad n, i ett algebraiskt binomium och sedan till ett annat algebraiskt polynom av grad n-1. Och för att detta ska vara möjligt är det nödvändigt att känna till eller känna åtminstone en av rötterna till det unika polynomet, för att separationen ska vara exakt.
- Polynomrötter: rötterna till ett polynom är vissa tal som gör ett polynom värt noll. Vi kan också säga att de fullständiga rötterna för ett polynom av heltalskoefficienter kommer att vara delare av den oberoende termen. När vi löser ett polynom som är lika med noll får vi polynomets rötter som lösningar. Som egenskaper hos rötterna och faktorerna för polynomer kan vi säga att nollor eller rötter till ett polynom är av delarna av den oberoende termen som tillhör polynomet.
Detta gör att vi kan ta reda på resten av uppdelningen av ett polynom p (x) med en annan av formen xa, till exempel. Av denna sats följer att ett polynom p (x) är delbart med xa endast om a är roten till polynom, bara om och endast om p (a) = 0. Om C (x) är kvoten och R (x) är resten av delningen av ett polynom p (x) med ett binomium som skulle vara (xa) det numeriska värdet av p (x), för x = a är det lika med resten av dess delning med xa.
Då kommer vi att säga att: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). I allmänhet är det mer praktiskt att tillämpa Ruffinis regel än att ersätta x för att få resten av en division med Xa. Därför är återstående teorem den mest lämpliga metoden för att lösa problem.
I den matematiska världen är Ruffinis regel en effektiv teknik för att dela ett polynom med ett binomium av formen x - r. Ruffinis regel är ett speciellt fall av syntetisk uppdelning när delaren är en linjär faktor.
Ruffinis metod beskrevs av den italienska matematikern, professorn och läkaren Paolo Ruffini 1804, som förutom att uppfinna den berömda metoden som kallas Ruffinis regel, som hjälper till att hitta koefficienterna för resultatet av fragmenteringen av ett polynom genom binom; Han upptäckte och formulerade denna teknik på en ungefärlig beräkning av rötterna för ekvationer.
För varje rot, till exempel, av typen x = a motsvarar en binomial av typen (xa). Det är möjligt att uttrycka ett polynom i faktorer om vi uttrycker det som en produkt eller av alla binomialer av typen (xa) som motsvarar rötterna, x = a, det resultatet. Det bör tas med i beräkningen att summan av exponenterna för binomialerna är lika med graden av polynom, det bör också tas med i beräkningen att alla polynom som inte har en oberoende term kommer att erkänna som rot x = 0, på ett annat sätt kommer det att erkännas som en X faktorn.
Vi kommer att kalla ett polynom "prim" eller "Irreducible" när det inte finns någon möjlighet att ta med det i faktorer.
För att fördjupa oss i ämnet måste vi vara tydliga om algebras grundläggande sats, som säger att det räcker för ett polynom i en icke-konstant variabel och komplex koefficient att ha så många rötter som deras grad, eftersom rötterna har sina mångfald. Detta bekräftar att alla algebraiska ekvationer av grad n har n komplexa lösningar. Ett polynom av grad n har högst n verkliga rötter.
Exempel och övningar
I det här avsnittet kommer vi att placera några algebraiska uttryck lösta övningar för vart och ett av ämnena som behandlas i det här inlägget.
Övningar med algebraiska uttryck:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Summan av polynom
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Subtraktion av polynom
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polynomavdelningen
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 och
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebraiska uttryck (binomial kvadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Resten sats
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplikation av monomier
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2-5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Uppdelning av monomier
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 och
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6-6
v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Addition och subtraktion av monomier
Övning: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Lösning: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
